Zapis Liczb

Różne systemy zapisu liczb umożliwiają przedstawianie dowolnych liczb za pomocą niewielkiej ilości dostępnych cyfr. Do zapisu liczb obecnie powszechnie używa się systemów pozycyjnych (w odróżnieniu od istniejących kiedyś innych sposobów, na przykład zapisu liczb w systemie rzymskim).

Definicja Systemy pozycyjne zapisu liczb polegają na zapisywaniu liczby w taki sposób, że każda cyfra w ciągu, jest mnożona przez odpowiednią wielokrotność (równą numerowi pozycji cyfry pomniejszonemu o jeden) pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu.
  • Przykładowo, czterocyfrowa liczba a3a2a1a0 w zapisie o podstawie b oznacza: a3b3 + a2b2 + a1b1 + a0b0

Obecnie najpowszechniej używany jest system dziesiętny, natomiast przykładowo Celtowie używali systemu dwunastkowego (podobnie jak Elfy w Tolkienowskim Śródziemiu). Wszystkie komputery wykorzystują zapis dwójkowy (binarny). Ze względu na wygodę zapisu i łatwość zamiany liczb w systemach dwójkowym i szesnastkowym (jeden znak w systemie szesnastkowym odpowiada dokładnie czterem znakom w systemie dwójkowym), do przedstawiania liczb przechowywanych przez komputery w systemie dwójkowym, często stosuje się zapis szesnastkowy.

Nieujemną liczbę całkowitą o podstawie b można przedstawić w następujący sposób:
    (dk-1dk-2...d1d0)b
gdzie:
    dk-1, dk-2, ..., d1, d0 są cyframi z przedziału domkniętego <0; b-1>

Algorytm zmiany podstawy

Aby zapisać dowolną liczbę n w systemie o podstawie b należy użyć następującego algorytmu:

  1. Podzielić z resztą liczbę n przez b.
  2. Resztę z dzielenia podstawić jako ostatnią cyfrę wyniku.
  3. Za n podstawić wynik z dzielenia (iloraz).
  4. Powtórzyć powyższe kroki uzyskując przedostatnią cyfrę wyniku i kolejne coraz wcześniejsze cyfry.
  5. Przerwać procedurę w momencie pojawienia się zera jako wyniku dzielenia.

Przykładowo, aby przedstawić liczbę 19 w systemie dwójkowym należy:
    19/2 = 9 + 1
     9/2 = 4 + 1
     4/2 = 2 + 0
     2/2 = 1 + 0
     1/2 = 0 + 1
   19 = (100011)2

Natomiast, aby przedstawić liczbę 19 w systemie siódemkowym następujące operacje muszą być przeprowadzone:
    19/7 = 2 + 5
     2/7 = 0 + 2
   19 = (25)7

Algorytm może być też wykorzystany do zamiany liczb zapisanych w systemie o mniejszej podstawie na liczby zapisane w systemie o większej podstawie.

Liczba cyfr

Liczba całkowita n, która spełnia nierówność bk-1 <= n < bk ma k cyfr w systemie o podstawie b. Zależność tą można przedstawić za pomocą logarytmu:
    liczba cyfr = [logbn] + 1
gdzie:
    symbol [] oznacza część całkowitą liczby

Data: 2020-03-09